Рычажные механизмы примеры решения

Теория и решение задач

Примеры решения задач и выполнения курсового проекта по теории механизмов и машин (ТММ).

1 Исследование и проектирование плоских рычажных механизмов

Методы кинематического и кинетостатического анализов, а в значительной степени и методы синтеза механизмов, увязаны с их структурой, т. е. способом образования механизмов. Поэтому исследование рычажного механизма необходимо начинать со структурного анализа. Методы структурного, кинематического и силового исследования рассмотрим на конкретном примере, приведенном на рисунке 1.

Рисунок 1 – Кинематическая схема плоского рычажного механизма

1.1 Структурный анализ плоского механизма
1.2 Кинематическое исследование плоского механизма

Задачей кинематики механизмов является изучение движения звеньев вне зависимости от сил, действующих на эти звенья. Кинематический анализ считается законченным, если для каждого звена механизма определены положение, скорость и ускорение двух его точек (или положение, скорость и ускорение одной точки звена и угловая координата, угловые скорость и ускорение этого звена).

Названные задачи могут быть решены графическим, графоаналитическим и аналитическим методами.

1.2.1 Построение положений звеньев механизма
1.2.2 Построение графика перемещений заданного звена
1.2.3 Построение диаграмм скоростей и ускорений методом графического дифференцирования
1.2.4 Кинематическое исследование механизма методом планов скоростей и ускорений
1.2.5 Аналитический метод кинематического исследования плоских рычажных механизмов
При этом методе все звенья, характерные размеры и перемещения звеньев изображаются в виде векторов. В результате образуются векторные многоугольники, на основе которых составляются векторные уравнения.

Рассматривая эти векторные уравнения в проекциях на оси произвольно выбранной системы координат, получают систему алгебраических уравнений для определения перемещений звеньев механизма (угловых – для звеньев, совершающих вращательное движение, и линейных – для звеньев, двигающихся поступательно).

При выполнении курсового проекта по курсу теории механизмов и машин студенту необходимо с помощью ЭВМ определить перемещения, скорости и ускорения выходного звена (звено №5) для 24 положений механизма. Для этого, опираясь на изложенный выше принцип, записывают уравнения перемещений (угловых или линейных в зависимости от задания) выходного звена №5 как функцию угла поворота входного звена (звено №1).

Полученное уравнение (или ряд уравнений) перемещений вводят в ЭВМ. Дифференцирование уравнений для определения скоростей и ускорений выходного звена производится на ЭВМ на основе алгоритма графического дифференцирования.

1.3 Силовой расчет плоского рычажного механизма

2 Кинематический анализ и геометрический синтез зубчатого механизма

3 Динамический синтез кулачкового механизма

3.1 Построение графиков движения толкателя
3.2 Определение величины окружности минимального радиуса кулачка

Величина окружности минимального радиуса теоретического профиля кулачка для механизмов с роликовым толкателем определяется из условия отсутствия заклинивания, т.е. угол передачи движения не должен быть меньше заданного γ_min.

Для кулачкового механизма с поступательно движущимся толкателем, имеющим плоскую тарелку, величина окружности минимального радиуса кулачка определяется из условия выпуклости его профиля.

Теоретическая механика: Решебник Яблонского:
Кинематика твердого тела (К2, К3, К4, К5, К6)

Бесплатный онлайн решебник Яблонского. Выберите задание и номер варианта для просмотра решения. Смотрите также способы и примеры решения задач по теме вращательное движение твердого тела.

Задание К.2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях

Движение груза 1 должно описываться уравнением
(1) x = c₂t 2 + c₁t + c,
где t – время, с; с_0-2 – некоторые постоянные.

В начальный момент времени (t=0) координата груза должна быть x, а его скорость – v.

Кроме того, необходимо, чтобы координата груза в момент времени t=t₂ была равна x₂.

Определить коэффициенты c, c₁ и c₂, при которых осуществляется требуемое движение груза 1. Определить также в момент времени t=t₁ скорость и ускорение груза и точки M одного из колес механизма.

Схемы механизмов показаны на рис. 68–70, а необходимые данные приведены в табл. 23.

Варианты с решением: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (решено 100%)

Задание К.3. Кинематический анализ плоского механизма

Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек B и C, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат. Схемы механизмов помещены на рис. 73–75, а необходимые для расчета данные приведены в табл. 25.

Примечание. ω_OA и ε_OA – угловая скорость и угловое ускорение кривошипа OA при заданном положении механизма; ω₁ – угловая скорость колеса 1 (постоянная); v_A и a_A – скорость и ускорение точки A. Качение колес происходит без скольжения.

Варианты с решением: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (решено 100%)

Задание К.4. Кинематический анализ многозвенного механизма

Кривошип O₁A вращается с постоянной угловой скоростью ω_O1A=2 рад/с. Определить для заданного положения механизма:

1) скорости точек A, B, C, . механизма и угловые скорости всех его звеньев с помощью плана скоростей;

2) скорости этих же точек механизма и угловые скорости звеньев с помощью мгновенных центров скоростей;

3) ускорения точек A и B и угловое ускорение звена AB;

4) положение мгновенного центра ускорений звена AB;

5) ускорение точки M, делящей звено AB пополам.

Схемы механизмов показаны на рис. 80–83, а необходимые для расчета данные приведены в табл. 27.

Варианты с решением: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (решено 100%)

Задание К.5. Определение кинематических характеристик движения твердого тела и его точек по уравнениям Эйлера

Заданы уравнения сферического движения твердого тела ψ=ψ(t), θ=θ(t) и φ=φ(t), где ψ, θ и φ – углы Эйлера (рис. 90).

Определить для момента времени t=t₁ угловую скорость и угловое ускорение тела, а также скорость и ускорение точки M, координаты которой в подвижной системе, жестко связанной с телом, ξ, η, ζ.

Необходимые данные приведены в табл. 32.

Варианты с решением: 3 5 11 14 19 20 23 28 (решено 27%)

Задание К.6. Кинематический анализ движения твердого тела, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности и имеющего неподвижную точку

Тело A катится без скольжения по поверхности неподвижного тела B, имея неподвижную точку O. Ось Oζ тела A вращается вокруг неподвижной оси Oz и имеет при заданном положении тела A угловую скорость ω₁ и угловое ускорение ε₁.

Определить угловую скорость и угловое ускорение тела A, а также скорость и ускорение точки M в указанном положении тела А.

Схемы показаны на рис. 91–93, а необходимые для расчета данные приведены в табл. 33.

Примечание. Положительный и отрицательный знаки у ε₁ означают соответственно, что вращение оси Oζ вокруг оси Oz происходит в направлении, показанном на схеме, ускоренно или замедленно.

Варианты с решением: 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 22 25 29 30 (решено 63%)

© 2002-2019 Vladimir Filippov | designed by Phantom

Простые механизмы.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: простые механизмы, КПД механизма.

Механизм — это приспособление для преобразования силы (её увеличения или уменьшения).
Простые механизмы — это рычаг и наклонная плоскость.

Рычаг.

Рычаг — это твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси. На рис. 1 ) изображён рычаг с осью вращения . К концам рычага (точкам и ) приложены силы и . Плечи этих сил равны соответственно и .

Условие равновесия рычага даётся правилом моментов: , откуда

Из этого соотношения следует, что рычаг даёт выигрыш в силе или в расстоянии (смотря по тому, с какой целью он используется) во столько раз, во сколько большее плечо длиннее меньшего.

Например, чтобы усилием 100 Н поднять груз весом 700 Н, нужно взять рычаг с отношением плеч 7 : 1 и положить груз на короткое плечо. Мы выиграем в силе в 7 раз, но во столько же раз проиграем в расстоянии: конец длинного плеча опишет в 7 раз большую дугу, чем конец короткого плеча (то есть груз).

Примерами рычага, дающего выигрыш в силе, являются лопата, ножницы, плоскогубцы. Весло гребца — это рычаг, дающий выигрыш в расстоянии. А обычные рычажные весы являются равноплечим рычагом, не дающим выигрыша ни в расстоянии, ни в силе (в противном случае их можно использовать для обвешивания покупателей).

Неподвижный блок.

Важной разновидностью рычага является блок — укреплённое в обойме колесо с жёлобом, по которому пропущена верёвка. В большинстве задач верёвка считается невесомой нерастяжимой нитью.

На рис. 2 изображён неподвижный блок, т. е. блок с неподвижной осью вращения (проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку ).

На правом конце нити в точке закреплён груз весом . Напомним, что вес тела — это сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес. В данном случае вес прило жен к точке , в которой груз крепится к нити.

К левому концу нити в точке приложена сила .

Плечо силы равно , где — радиус блока. Плечо веса равно . Значит, неподвижный блок является равноплечим рычагом и потому не даёт выигрыша ни в силе, ни в расстоянии: во-первых, имеем равенство , а во-вторых, в процессе движении груза и нити перемещение точки равно перемещению груза.

Зачем же тогда вообще нужен неподвижный блок? Он полезен тем, что позволяет изменить направление усилия. Обычно неподвижный блок используется как часть более сложных механизмов.

Подвижный блок.

На рис. 3 изображён подвижный блок, ось которого перемещается вместе с грузом. Мы тянем за нить с силой , которая приложена в точке и направлена вверх. Блок вращается и при этом также движется вверх, поднимая груз, подвешенный на нити .

В данный момент времени неподвижной точкой является точка , и именно вокруг неё поворачивается блок (он бы «перекатывается» через точку ). Говорят ещё, что через точку проходит мгновенная ось вращения блока (эта ось направлена перпендикулярно плоскости рисунка).

Вес груза приложен в точке крепления груза к нити. Плечо силы равно .

А вот плечо силы , с которой мы тянем за нить, оказывается в два раза больше: оно равно . Соответственно, условием равновесия груза является равенство (что мы и видим на рис. 3 : вектор в два раза короче вектора ).

Следовательно, подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза. При этом, однако, мы в те же два раза проигрываем в расстоянии: чтобы поднять груз на один метр, точку придётся переместить на два метра (то есть вытянуть два метра нити).

У блока на рис. 3 есть один недостаток: тянуть нить вверх (за точку ) — не самая лучшая идея. Согласитесь, что гораздо удобнее тянуть за нить вниз! Вот тут-то нас и выручает неподвижный блок.

На рис. 4 изображён подъёмный механизм, который представляет собой комбинацию подвижного блока с неподвижным. К подвижному блоку подвешен груз, а трос дополнительно перекинут через неподвижный блок, что даёт возможность тянуть за трос вниз для подъёма груза вверх. Внешнее усилие на тросе снова обозначено вектором .

Принципиально данное устройство ничем не отличается от подвижного блока: с его помощью мы также получаем двукратный выигрыш в силе.

Наклонная плоскость.

Как мы знаем, тяжёлую бочку проще вкатить по наклонным мосткам, чем поднимать вертикально. Мостки, таким образом, являются механизмом, который даёт выигрыш в силе.

В механике подобный механизм называется наклонной плоскостью. Наклонная плоскость — это ровная плоская поверхность, расположенная под некоторым углом к горизонту. В таком случае коротко говорят: «наклонная плоскость с углом «.

Найдём силу, которую надо приложить к грузу массы , чтобы равномерно поднять его по гладкой наклонной плоскости с углом . Эта сила , разумеется, направлена вдоль наклонной плоскости (рис. 5 ).

Выберем ось так, как показано на рисунке. Поскольку груз движется без ускорения, действующие на него силы уравновешены:

Проектируем на ось :

Именно такую силу нужно приложить, что двигать груз вверх по наклонной плоскости.

Чтобы равномерно поднимать тот же груз по вертикали, к нему нужно приложить силу, равную . Видно, что , поскольку . Наклонная плоскость действительно даёт выигрыш в силе, и тем больший, чем меньше угол .

Широко применяемыми разновидностями наклонной плоскости являются клин и винт.

Золотое правило механики.

Простой механизм может дать выигрыш в силе или в расстоянии, но не может дать выигрыша в работе.

Например, рычаг с отношением плеч 2 : 1 даёт выигрыш в силе в два раза. Чтобы на меньшем плече поднять груз весом , нужно к большему плечу приложить силу . Но для поднятия груза на высоту большее плечо придётся опустить на , и совершённая работа будет равна:

т. е. той же величине, что и без использования рычага.

В случае наклонной плоскости мы выигрываем в силе, так как прикладываем к грузу силу , меньшую силы тяжести. Однако, чтобы поднять груз на высоту над начальным положением, нам нужно пройти путь вдоль наклонной плоскости. При этом мы совершаем работу

т. е. ту же самую, что и при вертикальном поднятии груза.

Данные факты служат проявлениями так называемого золотого правила механики.

Золотое правило механики. Ни один из простых механизмов не даёт выигрыша в работе. Во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии, и наоборот.

Золотое правило механики есть не что иное, как простой вариант закона сохранения энергии.

КПД механизма.

На практике приходится различать полезную работу A полезн, которую нужно совершить при помощи механизма в идеальных условиях отсутствия каких-либо потерь, и полную работу Aполн,
которая совершается для тех же целей в реальной ситуации.

Полная работа равна сумме:
-полезной работы;
-работы, совершённой против сил трения в различных частях механизма;
-работы, совершённой по перемещению составных элементов механизма.

Так, при подъёме груза рычагом приходится вдобавок совершать работу по преодолению силы трения в оси рычага и по перемещению самого рычага, имеющего некоторый вес.

Полная работа всегда больше полезной. Отношение полезной работы к полной называется коэффициентом полезного действия (КПД) механизма:

КПД принято выражать в процентах. КПД реальных механизмов всегда меньше 100%.

Вычислим КПД наклонной плоскости с углом при наличии трения. Коэффициент трения между поверхностью наклонной плоскости и грузом равен .

Пусть груз массы равномерно поднимается вдоль наклонной плоскости под действием силы из точки в точку на высоту (рис. 6 ). В направлении, противоположном перемещению, на груз действует сила трения скольжения .

Задача по механике

Задача № 5 по разделу «Теория машин и механизмов»

1. Структурный анализ зубчато-рычажного механизма.

2. Кинематический анализ зубчато-рычажного механизма.

3. Динамический анализ зубчато-рычажного механизма.

Рисунок 1 – Кинематическая схема зубчато-рычажного механизма

Таблица 1 – Исходные данные

1 Структурный анализ зубчато-рычажного механизма

Условные обозначения звеньев зубчато-рычажного механизма приведены в таблице 1.1. В таблице 1.2 приведены кинематические пары зубчато-рычажного механизма, их обозначение на схеме, класс и название.

Таблица 1.1 − Характеристика звеньев зубчато-рычажного механизма

Степень подвижности плоского зубчато-рычажного механизма по формуле П.Л. Чебышева:

где n − число подвижных звеньев механизма, n = 4 (таблица 1.1);

p − число кинематических пар пятого класса, p = 5 (таблица 1.2);

p − число кинематических пар четвертого класса, p = 1 (таблица 1.2).

Соответственно с W = 1, механизм имеет одно входное звено − шестерня 1. Пассивных звеньев и кинематических пар механизм не содержит.

Составим структурные группы механизма, определим их класс и порядок (таблица 1.3).

Таблица 1.2 − Характеристика кинематических пар зубчато-рычажного механизма

Таблица 1.3 − Структурный состав зубчато-рычажного механизма

группа с высшей

группа II класса,

Структурных групп Ассура − 2, соединение групп − последовательное.

Механизм второго класса.

в общем виде − 1−[2]−[3−4];

в развернутом − В−[ВП−В]−[В−В−В].

2 Кинематический анализ зубчато-рычажного механизма

2.1 Построение плана положений механизма

Радиусы делительных окружностей зубчатых колес:

где m – нормальный модуль зубчатой передачи, m = 2 мм (ГОСТ 9563−80);

z₁ – число зубьев ведущей шестерни 1, z₁ = 20;

Масштабный коэффициент длины для построения плана положений механизма:

μ = ABAB;sup(¯¯ = = 0,001 , (2.3)

где l − действительная длина кривошипа 2, l = 0,02 м;

− величина отрезка изображающего длину кривошипа 2 на чертеже, принимаем = 20 мм.

Расчет величин отрезков, изображающих в масштабе μ действительные размеры механизма, производим в таблице 2.1.

Таблица 2.1 − Величины отрезков, изображающих в масштабе μ

действительные размеры механизма

Построение плана положений звеньев механизма производим методом планов в последовательности, определяемой формулой строения механизма.

В масштабе 1:1 строим планы механизма, начиная с построения положений ведущего звена − кривошипа AB. Наносим на чертеже произвольную точку A, которая является центром вращения кривошипа 2. Затем проводим окружность радиуса AB = 20 мм и отмечаем на ней 12 положений точки B (B, B, …, B) через каждые 30º, начиная с положения 0. Начало отсчета положений кривошипа (нулевое положение) принимаем, когда кривошип AB и шатун BE находятся на одной линии − это левое крайнее положение коромысла 4. Положения кривошипа AC = 50 мм расположены под углом 49,458º против часовой стрелки к соответствующим положениям кривошипа AB. Соединив точки B и C, получаем положения треугольника ABC кривошипа 2. Положения остальных звеньев механизма, соответствующие заданным положениям ведущего звена ABC, определяем методом засечек.

По заданным координатам, относительно центра вращения A кривошипа 2, определяем на чертеже положение неподвижной точки K(150;−120) коромысла 4. Для определения положений точки E из точки K проводим дугу окружности радиуса KE = 150 мм, а из точки B проводим дугу окружности радиуса BE = 180 мм. На пересечении дуг окружностей радиусами BE (BE, BE, …, BE) и KE (KE, KE, …, KE) определяем положения точки E (E, E, …, E). Соединив точку E (E, E, …, E) с точками B (B, B, …, B) и K, получим положения звеньев структурной группы 3−4. Положения шатуна BD = 100 мм расположены под углом 25,842º против часовой стрелки к соответствующим положениям шатуна BE. Соединив точки E и D, получаем положения треугольника BED шатуна 3. Соединив последовательно полученные точки D, D, …, D плавной кривой, получим шатунную кривую точки D шатуна 3 за один оборот кривошипа 2. Для каждого положения треугольника BED шатуна 3, на пересечении медиан, определяем положения точки S. Соединив последовательно полученные точки S плавной кривой, получим шатунную кривую центра масс S шатуна 3 за один оборот кривошипа 2.

2.2 Построение планов скоростей

Определение скоростей точек звеньев механизма производим методом планов в последовательности, определяемой формулой строения механизма.

Передаточное число зубчатой передачи:

Угловая скорость ведущей шестерни 1:

ω = = = 125,664 рад/с, (2.5)

где n − частота вращения ведущей шестерни 1, n = 1200 об/мин.

Угловая скорость кривошипа 2:

ω = = = 50,265 рад/с. (2.6)

Определим скорость точки B, принадлежащей начальному звену 2. Рассмотрим движение точки B относительно точки A, принадлежащей стойке 0. Запишем уравнение в векторной форме:

где − вектор абсолютной скорости движения точки A, принадлежащей неподвижной стойке кривошипа 2, u = 0;

− вектор относительной скорости движения точки B, во вращательном движении кривошипа 2, относительно неподвижной стойки A, направленный перпендикулярно кривошипу AB.

Абсолютная скорость точки B кривошипа 2:

u = u = ωl = 50,265∙0,02 = 1,005 м/с. (2.8)

Абсолютная скорость точки C кривошипа 2:

u = ωl = 50,265∙0,05 = 2,513 м/с. (2.9)

Скорость точки B кривошипа 2 будет одинаковой для всех положений механизма. Последовательность построения плана скоростей рассмотрим на примере для положения 2.

Принимаем масштаб построения плана скоростей:

Длина вектора линейной скорости точки B на плане скоростей:

u¯¯ = = = 40,2 мм. (2.11)

Из точки P, принятой за полюс плана скоростей, откладываем, в направлении вращения кривошипа, вектор скорости точки B кривошипа 2, u¯¯ ^ AB, длинной u¯¯ = 40,2 мм.

Длина вектора линейной скорости точки C кривошипа 2:

u¯¯ = u/μ = 2,513/0,025 = 100,53 мм. (2.12)

Из полюса P, в направлении вращения кривошипа, откладываем вектор скорости точки C кривошипа 2, u¯¯ ^ AC.

Определим скорость точки E, принадлежащей группе Ассура 3−4 первого вида. Рассмотрим движение точки E относительно точек B и K. Запишем уравнения в векторной форме, которые решим графически:

где − вектор абсолютной скорости движения точки B, принадлежащей кривошипу 2 (см. выше);

− вектор относительной скорости движения точки E, во вращательном движении шатуна 3 относительно точки B, направленный перпендикулярно шатуну BE;

− вектор абсолютной скорости движения точки K, принадлежащей неподвижной стойке коромысла 4, u = 0;

− вектор относительной скорости движения точки E, во вращательном движении коромысла 4 относительно стойки K, направленный перпендикулярно коромыслу KE.

Согласно первому уравнению (2.13) через точку b, на плане скоростей, проводим прямую перпендикулярную шатуну BE, а согласно второму − через полюс P (т.к. в полюсе скорости равны нулю, а u = 0) проводим прямую перпендикулярную коромыслу KE. Пересечение этих прямых определяет положение точки e, изображающей на плане скоростей конец векторов относительной скорости и абсолютной скорости , для положения 2:

u = ∙μ = 29,94∙0,025 = 0,749 м/с; (2.14)

u = u = u¯¯∙μ = 32,98∙0,025 = 0,825 м/с. (2.15)

Для определения скорости точки D шатуна BD воспользуемся теоремой подобия:

= ∙ = 29,94∙ = 16,64 мм. (2.16)

На плане скоростей относительно вектора , под углом 25,842º против часовой стрелки, от точки b откладываем отрезок , длиной 16,64 мм. Соединив полюс P с точкой d, получаем вектор u¯¯ = 40,63 мм. Тогда, абсолютная скорость точки D шатуна BD:

u = u¯¯∙μ = 40,63∙0,025 = 1,016 м/с. (2.17)

Соединив точки e и d на плане скоростей, получаем треугольник bed подобный треугольнику BED шатуна 3 на плане положений и повернутый относительно него на угол 90º.

Для определения скорости центра масс S шатуна 3 на плане скоростей определим точку s, расположенную на пересечении медиан треугольника ebd. Соединив полюс P с точкой s, получаем вектор u3 = 35,93 мм. Тогда, абсолютная скорость центра масс S шатуна 3:

u = u3∙μ = 35,93∙0,025 = 0,898 м/с. (2.18)

Скорость центра масс S коромысла KE определяем на основании теоремы о подобии:

u4 = u¯¯∙KSsdo(4¯¯ = 32,98∙ = 16,49 мм. (2.19)

На плане скоростей отложим, на векторе u¯¯ от полюса P, вектор u4, длиной 16,49 мм, изображающий в масштабе μ абсолютную скорость центра масс S коромысла KE:

u = u4∙μ = 16,49∙0,025 = 0,412 м/с. (2.20)

Все векторы, выходящие из полюса P на плане скоростей, изображают абсолютные скорости, а отрезки, соединяющие концы векторов − относительные скорости точек механизма. В указанной последовательности производим построение планов скоростей для всех 12 положений механизма. Величины отрезков, изображающих в масштабе μ скорости точек звеньев механизма, сводим в таблицу 2.2. Величины линейных скоростей характерных точек механизма сводим в таблицу 2.3.

Таблица 2.2 − Величины отрезков, изображающих в масштабе μ