Кинетическая энергия груза на пружине формула

Формулы пружинного маятника

Определение и формулы пружинного маятника

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

где $<щu>^2_0=frac$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

где $_0=sqrt>>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ — амплитуда колебаний; $<(omega >_0t+varphi )$ — фаза колебаний; $varphi $ и $_1$ — начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

[Re tilde=Releft(Acdot exp left(ileft(_0t+varphi right)right)right)left(3right).]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

Так как частота колебаний ($nu $) — величина обратная к периоду, то:

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($varphi $).

Амплитуду можно найти как:

начальная фаза при этом:

где $v_0$ — скорость груза при $t=0 c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

где $dot=v$ — скорость движения груза; $E_k=frac>^2><2>$ — кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600 frac<Н><м>$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1 frac<м><с>$?

Решение. Сделаем рисунок.

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

где $E_$ — потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_$ — кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.

Потенциальная энергия равна:

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

Из (1.4) выразим искомую величину:

Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

Ответ. $x_0=1,5$ мм

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A $где $A$ и $omega $ — постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_$. В какой момент времени это произойдет?

Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:

В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_$, значит:

Пружинный и математический маятник

Примерами гармонических колебаний служат колебания пружинного и математического маятников.

Пружинный маятник — тело массой т, колеблющееся на упругой пружине (рис. 5.5) и совершающее гармонические колебания под воздействием упругой силы:

где к — жесткость пружины.

Закон движения пружинного маятника:

где а — угол отклонения маятника от положения равновесия; а — амплитуда колебаний (максимальное значение угла отклонения).

При последовательном соединении пружин (рис. 5.5, б) общий коэффициент жесткости

При параллельном соединении пружин общий коэффициент жесткости (рис. 5.5, в)

Читать еще: Как работает насос грундфос

Круговая (циклическая) частота:

Кинетическая энергия пружинного маятника:

Потенциальная энергия пружинного маятника:

Полная энергия пружинного маятника:

На рис. 5.6, а представлен график зависимости потенциальной энергии Е_п пружинного маятника от деформации х, где Е — полная энергия (прямая горизонтальная линия), кинетическая Е_к и потенциальная Е_п энергии заданы соответствующими отрезками ординат. Из рисунка следует, что с возрастанием деформации х потенциальная энергия маятника возрастает, кинетическая — уменьшается (и наоборот). В отсутствие трения полная энергия тела сохраняется (Е = Е_к + Е_и) при любых значениях х

Графические зависимости кинетической Е_к, потенциальной Е_п и полной энергий Е упругой деформации тел от времени t показаны на рис. 5.6, б.

Математический маятник — материальная точка массой т, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной I и колеблющаяся под действием силы тяжести (рис. 5.7).

Круговая (циклическая) частота:

Период и частота колебания математического маятника:

Если маятник движется вниз с ускорением а (или вверх с замедлением а), его период

Если маятник движется вверх с ускорением а (или вниз с замедлением а), его период

Если маятник движется с ускорением а в горизонтальном направлении, его период

Кинетическая энергия математического маятника:

Потенциальная энергия математического маятника:

Превращение энергии при гармонических колебаниях происходит в соответствии с законом сохранения энергии в консервативной системе:

При движении пружинного маятника от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая уменьшается (см. рис. 5.6, а). Когда маятник проходит положение равновесия (? = 0), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия маятника максимальна и равна полной энергии. В состоянии максимального отклонения от положения равновесия скорость маятника равна нулю, следовательно, равна нулю и кинетическая энергия, а потенциальная — максимальна и равна полной энергии. Следовательно, в момент максимального отклонения и когда маятник проходит положение равновесия имеет место:

Приведенные сведения об энергии колебаний пружинного маятника имеют общее значение и справедливы для свободных гармонических незатухающих колебаний в любой колебательной системе.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием внешней, периодически действующей силы.

Вынужденные колебания совершают, например, игла швейной машины, нож электробритвы, поршень в цилиндре двигателя внутреннего сгорания и др.

Вынуждающая сила — сила, вызывающая вынужденные колебания.

Если вынуждающая сила меняется гармонически по закону F = F_maxcos(ot (F_max — амплитуда вынуждающей силы, со — ее циклическая частота), то в колебательной системе, на которую действует эта сила, через определенное время (соответствует переходному режиму) устанавливаются гармонические вынужденные колебания с частотой, равной частоте со вынуждающей силы (рис. 5.8).

Уравнение вынужденных колебаний:

где А — амплитуда вынужденных колебаний; ю — циклическая частота свободных незатухающих колебаний системы; ср — разность фаз между смещением х и вынуждающей силой F. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний:

где F_max — амплитуда вынуждающей силы; т — масса колеблющейся системы; со — циклическая частота внешней силы; г —

коэффициент сопротивления; (3 =—коэффициент затуха-

Для вынужденных колебаний характерно явление резонанса.

Разность фаз между смещением и вынуждающей силой:

Резонанс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте ш колебаний системы. Соответственно величина а>_рсз называется резонансной циклической частотой, а кривые зависимости А от оз — резонансными кривыми (рис. 5.9).

Резонансная циклическая частота и резонансная амплитуда:

Возрастание амплитуды вынужденных колебаний при резонансе выражено тем отчетливее, чем меньше трение в системе (Р —*? 0). На практике амплитуда А в точке со конечна за счет сопротивления среды (р| > р2 > Ро), поэтому с ростом резонансная частота сдвигается в сторону меньших частот, а резонансная амплитуда — понижается (А_рез1

СПАДИЛО.РУ

Механика. Объяснение явлений.

В задании №5 ЕГЭ по физике необходимо выбрать верные варианты утверждений, характеризующие то или иное явление. Теория аналогична другим заданиям по механике, но мы напомним основные моменты.

Теория к заданию №5 ЕГЭ по физике

Колебания

Колебание – это многократно повторяющийся процесс, характеризующийся изменением значения некоторой физической величины около ее равновесного состояния.

Пружинный маятник

В пружинном маятнике сила упругости пропорциональна удлинению пружины F = –kx. Здесь k— коэффициент жесткости пружины, который не зависит от величины силы и смещения.

Максимальное отклонение от положения равновесия называется амплитудой. Сила упругости при этом отклонении максимальна, потому максимальным является и ускорение тела. При приближении к положению равновесия растяжение пружины уменьшается, что влечет за собой уменьшение ускорения тела, ведь оно зависит от силы упругости. Достигнув точки равновесия, тело не останавливается, хотя в этой точке сила и ускорение равны нулю. Скорость тела в точке равновесия пружины имеет наибольшее значение. По инерции тело продолжит движение мимо этого положения, деформируя пружину в противоположную сторону. Сила упругости, которая возникает при этом, тормозит маятник. Она направлена в сторону, противоположную движению маятника. Вновь достигнув амплитуды, тело останавливается, а потом начинает движение в обратную сторону, повторяя все описанное выше.

Читать еще: Физические свойства каучука кратко

Период колебаний

Период колебаний такого маятника определяется формулой:

где m – масса тела (груза) на пружине

Потенциальная энергия

Потенциальная энергия равна произведению силы на отклонение, то есть

где х – расстояние от точки, в которой находится груз маятника, до положения его равновесия

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия зависит от скорости маятника и определяется формулой Здесь т – масса маятника, v – его скорость.

Ускорение тела

Модуль ускорения на отрезке пути определяется формулой

где v, v – соответственно конечная и начальная скорости тела на указанном промежутке; t, t – конечное и начальное время соответственно.

Импульс тела

Импульс тела можно вычислить, используя формулу:

где m – масса тела, v – его скорость

Сила Архимеда

Сила Архимеда является силой, с которой жидкость выталкивает тело, погруженное в нее. Она определяется формулой:

где ρ – плотность погруженного физ.тела, g – ускорение своб.падения, V – объем тела.

Разбор типовых вариантов заданий №5 ЕГЭ по физике

Демонстрационный вариант 2018

В таблице представлены данные о положении шарика, прикрепленного к пружине и колеблющегося вдоль горизонтальной оси Ох, в различные моменты времени.

Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения и укажите их номера:

Потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна
Период колебаний шарика равен 4,0 с
Кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна
Амплитуда колебаний шарика равна 30 мм
Полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна

Алгоритм решения:

1. Анализируем таблицу данных движения шарика.

2–6. Определяем истинность утверждений 1–5.

7. Записываем ответ.

Решение:

Максимальное значение потенц.энергии шарик имеет в моменты достижения амплитуды. Из таблицы видно, что наибольшее отклонение от состояния равновесия составляет – по модулю – 15 мм. Поскольку трением и сопротивление воздуха можем пренебречь (т.к. в условии не оговорено обратное), то состояние равновесия (когда пружина не деформирована) находится на одинаковом расстоянии от точек амплитуды, т.е. в нуле. Схематически движение такого маятника можно представить как:
В момент t=1,0 c маятник отклоняется на 15 мм, т.е. достигает амплитуды. В таком положении шарик имеет максимальную потенц.энергию. Утверждение 1 верно.
Периодом называют промежуток времени, за которое груз на пружине осуществляет 1 полное колебание. Пользуясь нашей схемой, можно утверждать, что полное колебание происходит, когда груз из точки амплитуды справа (15 мм) перемещается в точку амплитуды слева (–15 мм) и обратно. В таблице таким точкам соответствуют моменты времени t₁=1 с, t₂=3 c. Следовательно, чтобы переместиться между этими точками, требуется время ∆t=t₂–t₁=3–1=2 c. А чтобы вернуться обратно – еще столько же. Значит, Т=2∆t=2·2=4 c. Утверждение 2 верно.
Смотрим в таблицу: при t= 2,0 с координата шарика равна 0 мм. Он в этот момент пролетает точку равновесия. И скорость его при этом максимальная. А кинетическая энергия равна полупроизведению массы на квадрат скорости. Следовательно, его кинетическая энергия максимальная. Значит, утверждение 3 неверно.
Амплитуда равна 15 мм, поскольку это максимальное отклонение от положения равновесия. Следовательно, утверждение 4 неверно.
Поскольку движение маятника происходит без трения, то выполняется з-н сохранения энергии, т.е. E=const. Поэтому полная механическая энергия не может быть в один момент времени быть большей или меньшей, чем в другой. Утверждение 5 неверно.

Первый вариант задания (Демидова, №3)

В инерциальной системе отсчёта вдоль оси Ох движется тело массой 20 кг. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости vx этого тела от времени t. Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения, описывающих движение тела.

Модуль ускорения тела в промежутке времени от 60 до 80 с в 3 раза больше модуля ускорения тела в промежутке времени от 80 до 100 с.
В промежутке времени от 80 до 100 с тело переместилось на 30 м.
В момент времени 90 с модуль равнодействующей сил, действующих на тело, равна 1,5 Н.
В промежутке времени от 60 до 80 с импульс тела увеличился на 40 кг∙м/с.
Кинетическая энергия тела в промежутке времени от 10 до 20 с увеличилась в 4 раза.

Алгоритм решения:

Ищем модуль ускорения и проверяем истинность первого утверждения.
Определяем расстояние, пройденное телом за указанный в утверждении 2 отрезок времени, и проверяем истинность его.
Определяем величину равнодействующей всех сил, действующих на тело.
Вычисляем изменение импульса в указанный промежуток.
Находим кинетическую энергию в начале и конца проежутка и сравниваем их значения.
Записываем ответ.

Читать еще: Как проверить батарейку под нагрузкой

Решение:

1. Модуль ускорения на отрезке времени от 60 до 80 с равен а на отрезке от 80 до100 с: Как видим, утверждение неверно, (так как в условии сказано наоборот):

2. Используем только что найденное значение ускорения для вычисления координаты тела:

Это и есть пройденное расстояние. Утверждение верно.

3. Равнодействующая всех сил, действующих на данное тело, равна F = ma. Вычислим ее, учитывая, что по условию масса тела m=20 кг, а ускорение a=3/20. Тогда F=20 ∙3/20 кг • м/с 2 = 3 Н. Утверждение неверно.

4. Изменение импульса определяем таким образом: кг∙м/с. Утверждение неверное. 5. Кинетическую энергию тела в момент времени 10 с определяем по формуле: , а в момент 20 с . Найдем их отношение: Значит, Е₂=4Е₁ — последнее утверждение верное.

Второй вариант задания (Демидова, №27)

Два одинаковых бруска толщиной 5 см и массой 1 кг каждый, связанные друг с другом, плавают в воде так, что уровень воды приходится на границу между ними (см. рисунок). Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения и укажите их номера.

Если воду заменить на керосин, то глубина погружения брусков уменьшится.
Сила Архимеда, действующая на бруски, равна 20 Н.
Плотность материала, из которого изготовлены бруски, равна 500 кг/м3.
Если на верхний брусок положить груз массой 0,7 кг, то бруски утонут.
Если в стопку добавить ещё два таких же бруска, то глубина её погружения увеличится на 10 см.

Кинетическая энергия груза на пружине формула

Модель иллюстрирует превращения энергии при гармонических колебаниях тела под действием силы упругости, потенциальная энергия которой пропорциональна квадрату смещения тела из положения равновесия:

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению:

В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука: F _упр = – kx

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии изменяются периодически. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на горизонтально расположенной пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.

Для груза на пружине:

Запуск колебательного движения тела осуществляется с помощью кнопки Старт . Остановить процесс в любой момент времени позволяет кнопка Стоп .

Графически показано соотношение между потенциальной и кинетической энергиями при колебаниях в любой момент времени. Обратите внимание, что в отсутствие затухания полная энергия колебательной системы остается неизменной, потенциальная энергия достигает максимума при максимальном отклонении тела от положения равновесия, а кинетическая энергия принимает максимальное значение при прохождении тела через положение равновесия.