Докажите что при последовательном соединении двух пружин

Физика

Силы упругости возникают при деформации тел.

Вычисление силы упругости производится по закону Гука :

где k — коэффициент жесткости (упругости) пружины; Δ x = | l − l 0 | — абсолютная деформация (растяжения или сжатия) пружины, l — длина пружины в недеформированном состоянии, l — длина растянутой (или сжатой) пружины.

Направление силы упругости F → упр (рис. 2.9) противоположно направлению силы, вызывающей деформацию:

Относительная деформация определяется отношением:

ε = Δ x l 0 или ε = Δ x l 0 ⋅ 100 % ,

где Δ x = | l − l 0 | — абсолютная деформация (растяжения или сжатия) пружины, l — длина недеформированной пружины, l — длина растянутой (сжатой) пружины.

Коэффициент жесткости (упругости) k нескольких пружин одинаковой длины , но разной жесткости вычисляется для последовательного соединения по формуле (рис. 2.10)

1 k = 1 k 1 + 1 k 2 + . + 1 k N ;

где k ₁, k ₂, . k _N — коэффициенты жесткости (упругости) этих пружин.

Коэффициент жесткости (упругости) k нескольких пружин одинаковой длины , но разной жесткости (рис. 10), вычисляется для параллельного соединения по формуле (рис. 2.11)

где k ₁, k ₂, . k _N — коэффициенты жесткости (упругости) этих пружин.

• для последовательного соединения N одинаковых пружин с коэффициентами жесткости (упругости) k :

для параллельного соединения N одинаковых пружин с коэффициентами жесткости (упругости) k :

Пример 16. При последовательном соединении трех пружин, коэффициенты жесткости которых относятся как 1 : 2 : 3, сила 12 Н вызвала растяжение системы на 4,0 см. Рассчитать коэффициенты жесткости указанных пружин.

Решение. Величина силы упругости, действующей на пружину, определяется формулой

где k _общ — коэффициент жесткости составной пружины; ∆ x — указанное в условии задачи растяжение пружины.

Величина силы упругости, с другой стороны, совпадает с величиной приложенной силы:

Значение данной силы и величина растяжения пружины под действием этой силы позволяют рассчитать коэффициент жесткости составной пружины:

k общ = F Δ x = 12 4,0 ⋅ 10 − 2 = 300 Н/м.

Для определения коэффициентов жесткости каждой пружины запишем их коэффициенты жесткости в следующем виде:

так как указанные коэффициенты по условию задачи соотносятся между собой как

Для расчета величины k запишем формулу для коэффициента жесткости пружины, состоящей из трех последовательно соединенных пружин, и подставим в нее выражения k ₁, k ₂, k ₃:

1 k общ = 1 k 1 + 1 k 2 + 1 k 3 = 1 k + 1 2 k + 1 3 k = 11 6 k , или k общ = 6 k 11 .

Найденное ранее значение k _общ = 300 Н/м позволяет рассчитать k = 550 Н/м.

Тогда коэффициенты жесткости каждой из пружин имеют значения:

k ₂ = 2 k = 1100 Н/м;

k ₃ = 3 k = 1650 Н/м.

Пример 17. Вычислить абсолютную деформацию пружины с коэффициентом жесткости 100 Н/м, присоединенной к бруску, лежащему на горизонтальной поверхности, в момент начала скольжения бруска по поверхности. Сила, вызывающая скольжение бруска, прикладывается к пружине. Коэффициент трения между бруском и поверхностью равен 0,1. Масса бруска составляет 1,0 кг.

Решение. На рисунке показаны силы, действующие на брусок.

Абсолютную деформацию пружины рассчитаем по формуле

где F _упр = F — модуль силы упругости, возникающей в пружине (величина силы упругости равна величине приложенной силы); k — коэффициент жесткости пружины.

Со стороны пружины на брусок действует сила, модуль которой совпадает с силой упругости:

В момент начала скольжения величина силы трения равна силе, приложенной к бруску в направлении движения:

где µ — коэффициент трения; N = mg — модуль силы нормальной реакции опоры.

Поэтому величина силы упругости может быть вычислена по формуле

Из исходного уравнения следует, что величина деформации пружины в момент начала скольжения определяется выражением

Расчет позволяет определить ее значение:

Δ x = 0,1 ⋅ 1,0 ⋅ 10 100 = 10 − 2 м = 1,0 см .

Пример 18. Вычислить массу груза, подвешенного к пружине жесткостью 250 Н/м, если известно, что относительная деформация пружины составляет 25 %. Длину нерастянутой пружины считать равной 100 мм.

Решение. Проиллюстрируем условие задачи рисунком.

Сила упругости определяется формулой

где k — коэффициент жесткости (упругости) пружины; ∆ x = l − l — абсолютная деформация пружины (величина ее растяжения под действием груза); l — длина недеформированной пружины; l — длина пружины в деформированном состоянии.

Из определения относительной деформации

где ε = 0,25 — относительная деформация (в долях).

С учетом значения относительной деформации формула для вычисления силы упругости принимает вид:

F упр = k ε l 0 = 0,25 k l 0 .

С другой стороны, сила упругости, возникающая в пружине, численно равна весу тела, вызвавшего деформацию пружины:

где m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения.

Таким образом, имеем равенство

позволяющее вычислить массу груза, подвешенного к пружине:

m = 0,25 k l 0 g = 0,25 ⋅ 250 ⋅ 0,100 10 = 0,625 кг = 625 г .

Соединение пружин (окончание)

9. Чему равна жёсткость системы двух последовательно соединенных пружин жёсткостью 200 Н/м и 50 Н/м?

В этом примере жёсткость системы двух последовательно соединённых пружин оказалась меньше, чем жёсткость каждой пружины. Всегда ли это так?

10. Докажите, что жёсткость системы двух последовательно соединённых пружин меньше жёсткости любой из пружин, образующих систему.

Параллельное соединение пружин

На рисунке 15.7 слева изображены параллельно соединённые одинаковые пружины.

Обозначим жёсткость одной пружины k, а жёсткость системы пружин k_пар.

11. Докажите, что k_пар = 2k.

П о д с к а з к а. См. рисунок 15.7.

Итак, жёсткость системы из двух одинаковых параллельно соединённых пружин в 2 раза больше жёсткости каждой из них.

12. Докажите, что при параллельном соединении двух пружин жёсткостью k₁ и k₂

П о д с к а з к а. При параллельном соединении пружин их удлинение одинаково, а сила упругости, действующая со стороны системы пружин, равна сумме их сил упругости.

13. Две пружины жёсткостью 200 Н/м и 50 Н/м соединены параллельно. Чему равна жёсткость системы двух пружин?

14. Докажите, что жёсткость системы двух параллельно соединённых пружин больше жёсткости любой из пружин, образующих систему.

Последовательное соединение пружин

Пружины являются важным элементом самых различных механизмов. Для изменения основных эксплуатационных свойств проводится использование нескольких подобных изделий, которые соединяются различным образом. Тип применяемого метода соединения учитывается при проведении самых различных расчетов.

Основные методы крепления пружин

При проведении расчетов уделяется внимание тому, каким образом проводится соединение пружин. Этот момент оказывает влияние на следующее:

1. Жесткость системы. Этот показатель встречается практически во всех проводимых расчетах при последовательном подключении деталей. Зависит он от самых различных моментов, к примеру, коэффициента жесткости каждого.
2. Требуемое усилие для сжатия или растяжения. Рассматриваемая деталь применяется часто по причине того, что может обеспечивает накопление кинетической энергии.
3. Размер кинетической и потенциальной энергии. После того как изделие было выведено из положения равновесия начинает накапливаться кинетическая энергия. При этом она сохраняется на протяжении всего периода, пока к телу приложено усилие.
4. Вероятность возникновения свободного колебательного движения, а также степень сопротивления подобному явлению. Для расчетов колебательного движения также применяются специальные формулы.

Бывают самые различные способы соединения пружин, но наибольшее распространение получил метод последовательного и параллельного подключения.

Они характеризуются довольно большим количеством особенностей. Прежде чем рассматривать применение подобных способов соединения следует уделить внимание особенностям самого изделия:

1. Деталь изготавливается из проволоки, которая получается методом проката. Она обладает высоким показателем упругости, а также устойчивостью к воздействию окружающей среды.
2. Прокат изготавливают из специального сплава, способного выдерживать периодическую деформацию. Под заказ может производится деталь из обычных углеродистых сплавов или легированных металлов, все зависит от конкретного случая.
3. Проволока накручивается в виде колец по спирали. При этом должна выдерживаться едина ось, которая определяет распространение силы в одном направлении.
4. Выделяют два основных типа детали: растяжения и сжатия. Первый вариант исполнения характеризуется тем, что витки находятся практически вплотную. В случае изготовления изделия для сжатия выдерживается определенный зазор, который позволяет кольцам сближаться, а самому изделию сжиматься.
5. Характеризуется изделие самыми различными показателями. Примером можно назвать диаметр проволоки, созданных колец из нее, шаг расположения витков. Все эти параметры указываются в технической документации.

Сегодня они встречаются практически повсеместно. Это связано с тем, что подобное изделие практически незаменимо в случае, когда требуется возвратно-поступательное движение.

Последовательное соединение

При создании многих механизмов применяется последовательное соединение пружин. Среди особенностей этого метода отметим нижеприведенные моменты:

1. Наиболее важным параметром можно назвать коэффициент жесткости. Он определяет практически все свойства детали. Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин равен каждому из показателей упругости.
2. Также не стоит забывать о том, что показатель смещения тела равен сумме деформации витков. Любой тип рассматриваемого изделия характеризуется максимальным удлинение и сжатием. В случае максимального сжатия кольца расположены вплотную, зазор отсутствует практически полностью. При растяжении есть вероятность деформации витков, из-за чего изделие попросту потеряет свои основные характеристики.

Для расчетов могут применяться самые различные формулы. Среди особенностей этого метода соединения пружин отметим следующее:

1. Для начала берется одна деталь с жесткостью K, сила растяжения выражается следующей формулой: x=F/k.
2. Следующий шаг заключается в подсоединении второй детали. Для этого могут применяться различные крепежные элементы. При этом две пружины разной длины будут находится в одной системе.
3. Если приложить усилие для растягивания обоих изделий, то сила упругости каждой будет равна по модулю. При этом удлинение каждой будет равно х.

Приведенная выше информация указывает на то, что упругость системы двух последовательно соединенных изделий будет примерно в два раза меньше. При этом удлинение будет равно сумме удлинения каждой в отдельности.

Применяемый метод соединения получил весьма широкое распространение. Однако, в некоторых случаях целесообразно применять параллельный метод соединения.

Параллельное соединение

Довольно часто встречается и параллельное соединение пружин. В этом случае смещение тела, которому передается сила, равна деформации каждой из них. Зачастую параллельно соединенные пружины используются тогда, когда нужно передать большее усилие. Особенностями этого метода назовем следующее:

1. В рассматриваемом случае жесткости пружины обозначаются буквой k. Построенная схема указывает на то, что жесткость пружин при параллельном соединении остается неизменной, но общий показатель возрастает в два раза.
2. Показатель удлинения остается неизменным. При этом сила упругости возрастает в два раза в случае, если обе детали обладают схожими эксплуатационными характеристиками.

Проблемой применения подобной системы можно назвать то, что обе детали должны обладать одинаковой длиной в состоянии покоя. В противном случае сила упругости будет распределяться неравномерно, при этом есть вероятность критической деформации одной из них.

Влияние сопротивления на свободные колебания

Особенности детали определяют то, что при ее применении есть вероятность возникновения свободного колебательного движения. При этом имеет значение, какими особенностями обладает параллельно и последовательно соединенные пружины. Среди особенностей влияния сопротивления на свободное колебание отметим следующие моменты:

1. Проведенные тесты указывают на то, что параллельно соединенные пружины препятствуют возникновению свободного колебания. Это можно связать с существенным увеличением жесткости всей системы.
2. При последовательном расположении есть вероятность снижения сопротивления, так как расстояние между точкой крепления и телом существенно увеличивается.

Именно поэтому для существенного снижения колебательного вращения на момент эксплуатации системы рекомендуется использовать параллельный метод подключения.

Динамика несвободного движения

Еще одним важным показателем можно назвать динамику несвободного движения. Она может варьировать в достаточно большом диапазоне.

Распространенные последовательно соединенные пружины могут обеспечивать условия для несвободного движения тела. Динамика может нарастать в зависимости от длины в свободном состоянии и передаваемого усилия.

Как определить жесткость системы при последовательном соединении пружин?

Довольно большое количество проблем возникает на момент вычисления жесткости системы при последовательном соединении. Особенностями проводимого расчета в этом случае назовем следующее:

1. Важным показателем можно назвать жесткость, которая варьирует в достаточно большом диапазоне. Она во многом определяет свойства изделия. При слишком большой жесткости приходится прикладывать большее усилие для растяжения или сжатия детали.
2. Телу придается определенное усилие (F), которое становится причиной удлинения тела на величину x.
3. Для расчета применяется формула: k=F/(2x)=1/2F/x=k/2.

Приведенная выше информация указывает на то, что жесткость всей системы в этом случае в два раза меньше показателя жесткости каждого изделия. При этом формула применима только в том случае, если применяемые варианты исполнения для соединения обладают одинаковыми эксплуатационными характеристиками.

Определить жесткость системы пружин можно при самостоятельном проведении соответствующих расчетов. Сегодня система двух пружин получила весьма широкое распространение, так как при ее применении можно добиться требующихся результатов. Однако, прежде чем ее использовать следует провести соответствующие расчеты.

Силы упругости

1. Проявление сил упругости и их природа

Как вы уже знаете из курса физики основной школы, силы упругости связаны с деформацией тел, то есть изменением их формы и (или) размеров.

Связанная с силами упругости деформация тел не всегда заметна (подробнее мы остановимся на этом ниже). По этой причине свойства сил упругости изучают обычно, используя для наглядности пружины: их деформация хорошо видна на глаз.

Подвесим к пружине груз (рис. 15.1, а). (Будем считать, что массой пружины можно пренебречь.) Пружина растянется, то есть деформируется.

На подвешенный груз действуют сила тяжести _т и приложенная со стороны растянутой пружины сила упругости _упр (рис. 15.1, б). Она вызвана деформацией пружины.

Согласно третьему закону Ньютона на пружину со стороны груза действует такая же по модулю, но противоположно направленная сила (рис. 15.1, в). Эта сила – вес груза: ведь это сила, с которой тело растягивает вертикальный поднес (пружину).

Силы _упр и , с которыми груз и пружина взаимодействуют друг с другом, связаны третьим законом Ньютона и поэтому имеют одинаковую физическую природу. Следовательно, вес – это тоже сила упругости. (Действующая на пружину со стороны груза сила упругости (вес груза) обусловлена деформацией груза. Эта деформация незаметна, если грузом является гиря или брусок. Чтобы деформация груза стала тоже заметной, можно в качестве груза взять массивную пружину: мы увидим, что она растянется.) Действуя на пружину, вес груза растягивает ее, то есть является причиной ее деформации. (Во избежание недоразумений подчеркнем еще раз, что пружину, к которой подвешен груз, растягивает не приложенная к грузу сила тяжести груза, а приложенная к пружине со стороны груза сила упругости (вес груза).)

На этом примере мы видим, что силы упругости являются и следствием, и причиной упругой деформации тел:
– если тело деформировано, то со стороны этого тела действуют силы упругости (например, сила _упр на рисунке 15.1, б);
– если к телу приложены силы упругости (например, сила на рисунке 15.1, в), то это тело деформируется.

? 1. Какие из изображенных на рисунке 15.1 сил
а) уравновешивают друг друга, если груз покоится?
б) имеют одинаковую физическую природу?
в) связаны третьим законом Ньютона?
г) перестанут быть равными по модулю, если груз будет двигаться с ускорением, направленным вверх или вниз?

Всегда ли деформация тела заметна? Как мы уже говорили, «коварная» особенность сил упругости состоит в том, что связанная с ними деформация тел далеко не всегда заметна.

Деформация стола, обусловленная весом лежащего на нем яблока, незаметна на глаз (рис. 15.2).

И тем не менее она есть: только благодаря силе упругости, возникшей вследствие деформации стола, он удерживает яблоко! Деформацию стола можно обнаружить с помощью остроумного опыта. На рисунке 15.2 белые линии схематически обозначают ход луча света, когда яблока на столе нет, а желтые линии – ход луча света, когда яблоко лежит на столе.

? 2. Рассмотрите рисунок 15.2 и объясните, благодаря чему деформацию стола удалось сделать заметной.

Некоторая опасность состоит в том, что, не заметив деформации, можно не заметить и связанной с ней силы упругости!

Так, в условиях некоторых задач фигурирует «нерастяжимая нить». Под этими словами подразумевают, что можно пренебречь только величиной деформации нити (увеличением ее длины), но нельзя пренебрегать силами упругости, приложенными к нити или действующими со стороны нити. На самом деле «абсолютно нерастяжимых нитей» нет: точные измерения показывают, что любая нить хоть немного, но растягивается.

Например, если в описанном выше опыте с грузом, подвешенным к пружине (см. рис. 15.1), заменить пружину «нерастяжимой нитью», то под весом груза нить растянется, хотя ее деформация и будет незаметной. А следовательно, будут присутствовать и все рассмотренные силы упругости. Роль силы упругости пружины будет играть сила натяжения нити, направленная вдоль нити.

? 3. Сделайте чертежи, соответствующие рисунку 15.1 (а, б, в), заменив пружину нерастяжимой нитью. Обозначьте на чертежах силы, действующие на нить и на груз.

? 4. Два человека тянут в противоположные стороны веревку с силой 100 Н каждый.
а) Чему равна сила натяжения веревки?
б) Изменится ли сила натяжения веревки, если один ее конец привязать к дереву, а за другой конец тянуть с силой 100 Н?

Природа сил упругости

Силы упругости обусловлены силами взаимодействия частиц, из которых состоит тело (молекул или атомов). Когда тело деформируют (изменяют его размеры или форму), расстояния между частицами изменяются. Вследствие этого между частицами возникают силы, стремящиеся вернуть тело в недеформированное состояние. Это и есть силы упругости.

2. Закон Гука

Будем подвешивать к пружине одинаковые гирьки. Мы заметим, что удлинение пружины пропорционально числу гирек (рис. 15.3).

Это означает, что деформация пружины прямо пропорциональна силе упругости.

Обозначим деформацию (удлинение) пружины

где l – длина деформированной пружины, а l – длина недеформированной пружины (рис. 15.4). Когда пружина растянута, x > 0, а проекция действующей со стороны пружины силы упругости F_x

? 6. Груз какой массы надо подвесить к пружине жесткостью 500 Н/м, чтобы удлинение пружины стало равным 3 см?

Важно отличать удлинение пружины x от ее длины l. Различие между ними показывает формула (1).

? 7. Когда к пружине подвешен груз массой 2 кг, ее длина равна 14 см, а когда подвешен груз массой 4 кг, длина пружины равна 16 см.
а) Чему равна жесткость пружины?
б) Чему равна длина недеформированной пружины?

3. Соединение пружин

Последовательное соединение

Возьмем одну пружину жесткостью k (рис, 15.6, а). Если растягивать ее силой (рис. 15.6, б), ее удлинение выражается формулой

Возьмем теперь вторую такую же пружину и соединим пружины, как показано на рисунке 15.6, в. В таком случае говорят, что пружины соединены последовательно.

Найдем жесткость k_посл системы из двух последовательно соединенных пружин.

Если растягивать систему пружин силой , то сила упругости каждой пружины будет равна по модулю F. Общее же удлинение системы пружин будет равно 2x, потому что каждая пружина удлинится на x (рис. 15.6, г).

где k – жесткость одной пружины.

Итак, жесткость системы из двух одинаковых последовательно соединенных пружин в 2 раза меньше, чем жесткость каждой из них.

Если последовательно соединить пружины с разной жесткостью, то силы упругости пружин будут одинаковы. А общее удлинение системы пружин равно сумме удлинений пружин, каждое из которых можно рассчитать с помощью закона Гука.

? 8. Докажите, что при последовательном соединении двух пружин
1/k_посл = 1/k₁ + 1/k₂, (4)
где k₁ и k₂ – жесткости пружин.

? 9. Чему равна жесткость системы двух последовательно соединенных пружин жесткостью 200 Н/м и 50 Н/м?

В этом примере жесткость системы двух последовательно соединенных пружин оказалась меньше, чем жесткость каждой пружины. Всегда ли это так?

? 10. Докажите, что жесткость системы двух последовательно соединенных пружин меньше жесткости любой из пружин, образующих систему.

Параллельное соединение

На рисунке 15.7 слева изображены параллельно соединенные одинаковые пружины.

Обозначим жесткость одной пружины k, а жесткость системы пружин k_пар.

? 11. Докажите, что k_пар = 2k.

Подсказка. См. рисунок 15.7.

Итак, жесткость системы из двух одинаковых параллельно соединенных пружин в 2 раза больше жесткости каждой из них.

? 12. Докажите, что при параллельном соединении двух пружин жесткостью k₁ и k₂

Подсказка. При параллельном соединении пружин их удлинение одинаково, а сила упругости, действующая со стороны системы пружин, равна сумме их сил упругости.

? 13. Две пружины жесткостью 200 Н/м и 50 Н/м соединены параллельно. Чему равна жесткость системы двух пружин?

? 14. Докажите, что жесткость системы двух параллельно соединенных пружин больше жесткости любой из пружин, образующих систему.

Дополнительные вопросы и задания

15. Постройте график зависимости модуля силы упругости от удлинения для пружины жесткостью 200 Н/м.

16. Тележку массой 500 г тянут по столу с помощью пружины жесткостью 300 Н/м, прикладывая силу горизонтально. Трением между колесами тележки и столом можно пренебречь. Чему равно удлинение пружины, если тележка движется с ускорением 3 м/с 2 ?

17. К пружине жесткостью k подвешен груз массой m. Чему равно удлинение пружины, когда груз покоится?

18. Пружину жесткостью k разрезали пополам. Какова жесткость каждой из образовавшихся пружин?

19. Пружину жесткостью k разрезали на три равные части и соединили их параллельно. Какова жесткость образовавшейся системы пружин?

20. Докажите, что жесткость и последовательно соединенных одинаковых пружин в n раз меньше жесткости одной пружины.

21. Докажите, что жесткость n параллельно соединенных одинаковых пружин в n раз больше жесткости одной пружины.

22. Если две пружины соединить параллельно, то жесткость системы пружин равна 500 Н/м, а если эти же пружины соединить последовательно, то жесткость системы пружин равна 120 Н/м. Чему равна жесткость каждой пружины?

23. Находящийся на гладком столе брусок прикреплен к вертикальным упорам пружинами жесткостью 100 Н/м и 400 Н/м (рис. 15.8). В начальном состоянии пружины не деформированы. Чему будет равна действующая на брусок сила упругости, если его сдвинуть на 2 см вправо? на 3 см влево?